1.Snail Trail
DFS,Snail的移动路线可以分为一个个线段,每个线段成为DFS的一个阶段,当Snail在一个方向上运动受阻时枚举转向的方向并进入下一阶段。开始时由于我重复搜索运动受阻时的点导致无限重复“撞墙”结果爆栈了,看来在写递归函数时还有很多细节需要注意。
/* ID: huilong1 LANG: C++ TASK: snail */ #include<iostream> #include<fstream> #include<stdlib.h> using namespace std; ifstream fin; ofstream fout; int N,B; char map[121][121]; int direct[4][2]={ {0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0} }; int dfs(int x,int y){ int maxlen=0; for(int k=0;k<4;k++){ int len=0; int i,j; i=x; j=y; while(1){ int nx,ny; nx=i+direct[k][0]; ny=j+direct[k][1]; if(nx>=N||nx<0||ny>=N||ny<0||map[nx][ny]=='#'){ if(len==0)break;//防止重复“撞墙”造成的爆栈 int futurlen=dfs(i,j); if(len+futurlen>maxlen)maxlen=futurlen+len; break; } if(map[nx][ny]=='-'){ if(len>maxlen)maxlen=len; break; } i=nx; j=ny; map[i][j]='-'; len++; } if(len==0)continue;//这句很重要,防止消除痕迹时形成死循环 int ii=x+direct[k][0],jj=y+direct[k][1]; //回溯,消除痕迹 while(!(ii==i&&jj==j)){ map[ii][jj]='.'; ii+=direct[k][0]; jj+=direct[k][1]; } map[i][j]='.'; } return maxlen; } int main(){ fin.open("snail.in"); fout.open("snail.out"); fin>>N>>B; for(int i=0;i<N;i++)for(int j=0;j<N;j++)map[i][j]='.'; for(int i=0;i<B;i++){ char x; int y; fin>>x>>y; map[(int)(x-'A')][y-1]='#'; } map[0][0]='-'; fout<<dfs(0,0)+1<<endl; return 0; }
2.Electric Fences
题目对精度要求不高,可以把平面坐标扩大10倍,这样就只需搜索0=<x<=1000和0<=y<=1000范围内的整点,但是搜索所有点还是会超时。首先试验了一下模拟退火算法(Simulated annealing),结果由于对“温度”和随机变化的过程把握不好,导致得到次优解并且波动很大,最终放弃并试了一个不太严谨的方法:先按步长为10搜索所有整点,找到其中的最优点,然后在最优点x和y方向上+-10的范围内提高精度按步长1搜索最优解。
3.Visconsin Square
时限是5秒,简单的DFS就可以过。
模拟退火(Simulated annealing)算法:
以下内容出自heaad的博客
一. 爬山算法 ( Hill Climbing )
介绍模拟退火前,先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法,该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解,直到达到一个局部最优解。
爬山算法实现很简单,其主要缺点是会陷入局部最优解,而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示:假设C点为当前解,爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索,因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。
![](/user_files/baudelaire/Image/爬山算法.png)
图1
二. 模拟退火(SA,Simulated Annealing)思想
爬山法是完完全全的贪心法,每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解,因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法,但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解,因此有可能会跳出这个局部的最优解,达到全局的最优解。以图1为例,模拟退火算法在搜索到局部最优解A后,会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点,于是就跳出了局部最大值A。
模拟退火算法描述:
若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解),则总是接受该移动
若J( Y(i+1) )< J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差),则以一定的概率接受移动,而且这个概率随着时间推移逐渐降低(逐渐降低才能趋向稳定)
这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程,这也是模拟退火算法名称的由来。
根据热力学的原理,在温度为T时,出现能量差为dE的降温的概率为P(dE),表示为:
P(dE) = exp( dE/(kT) )
其中k是一个常数,exp表示自然指数,且dE<0。这条公式说白了就是:温度越高,出现一次能量差为dE的降温的概率就越大;温度越低,则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0(否则就不叫退火了),因此dE/kT < 0 ,所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。
随着温度T的降低,P(dE)会逐渐降低。
我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程,我们以概率P(dE)来接受这样的移动。
关于爬山算法与模拟退火,有一个有趣的比喻:
爬山算法:兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法,它不能保证局部最优值就是全局最优值。
模拟退火:兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间,它可能走向高处,也可能踏入平地。但是,它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。
下面给出模拟退火的伪代码表示。
/* * J(y):在状态y时的评价函数值 * Y(i):表示当前状态 * Y(i+1):表示新的状态 * r: 用于控制降温的快慢 * T: 系统的温度,系统初始应该要处于一个高温的状态 * T_min :温度的下限,若温度T达到T_min,则停止搜索 */ while( T > T_min ) { dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ; if ( dE >= 0 ) //表达移动后得到更优解,则总是接受移动 Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动 else { // 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ,dE/T越大,则exp( dE/T )也 if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) ) Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动 } T = r * T ; //降温退火 ,0<r<1 。r越大,降温越慢;r越小,降温越快 /* * 若r过大,则搜索到全局最优解的可能会较高,但搜索的过程也就较长。若r过小,则搜索的过程会很快,但最终可能会达到一个局部最优值 */ i ++ ; }
四. 使用模拟退火算法解决旅行商问题
旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) :有N个城市,要求从其中某个问题出发,唯一遍历所有城市,再回到出发的城市,求最短的路线。
旅行商问题属于所谓的NP完全问题,精确的解决TSP只能通过穷举所有的路径组合,其时间复杂度是O(N!) 。
使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。(使用遗传算法也是可以的,我将在下一篇文章中介绍)模拟退火解决TSP的思路:
1. 产生一条新的遍历路径P(i+1),计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) )
2. 若L(P(i+1)) < L(P(i)),则接受P(i+1)为新的路径,否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ,然后降温
3. 重复步骤1,2直到满足退出条件
产生新的遍历路径的方法有很多,下面列举其中3种:
1. 随机选择2个节点,交换路径中的这2个节点的顺序。
2. 随机选择2个节点,将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。
3. 随机选择3个节点m,n,k,然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。
五. 算法评价
模拟退火算法是一种随机算法,并不一定能找到全局的最优解,可以比较快的找到问题的近似最优解。 如果参数设置得当,模拟退火算法搜索效率比穷举法要高。